汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

!!! question

给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变（如下图所示）。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。

1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

汉诺塔问题示例

我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记作 $f(i)$ 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

考虑基本情况

如下图所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 A 移动至 C 即可。

  • "<1>" 规模为 1 的问题的解

  • "<2>" hanota_f1_step2

如下图所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动。

  1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B 。
  2. 再将大圆盘从 A 移至 C 。

  3. 最后将小圆盘从 B 移至 C 。

  4. "<1>" 规模为 2 的问题的解

  5. "<2>" hanota_f2_step2

  6. "<3>" hanota_f2_step3

  7. "<4>" hanota_f2_step4

解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中，C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

子问题分解

对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看作一个整体，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。

  1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移至 B 。
  2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。

  3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移至 C 。

  4. "<1>" 规模为 3 的问题的解

  5. "<2>" hanota_f3_step2

  6. "<3>" hanota_f3_step3

  7. "<4>" hanota_f3_step4

从本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解可以合并。

至此，我们可总结出下图所示的解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

  1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。
  2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 A 直接移至 C 。
  3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。

对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

解决汉诺塔问题的分治策略

代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar ：

  • "Python" ```python def move(src: list[int], tar: list[int]): """移动一个圆盘""" // 从 src 顶部拿出一个圆盘 pan = src.pop() // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.append(pan)

def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]): """求解汉诺塔问题 f(i)""" // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if i == 1: move(src, tar) return // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf) // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar) // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar)

def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]): """求解汉诺塔问题""" n = len(A) // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C)


- "C++"
```cpp
/* 移动一个圆盘 */
void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
    // 从 src 顶部拿出一个圆盘
    int pan = src.back();
    src.pop_back();
    // 将圆盘放入 tar 顶部
    tar.push_back(pan);
}

/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
    // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
    if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
    }
    // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
    dfs(i - 1, src, tar, buf);
    // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
    move(src, tar);
    // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
    dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* 求解汉诺塔问题 */
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
    int n = A.size();
    // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
    dfs(n, A, B, C);
}
  • "Java" ```java / 移动一个圆盘 / void move(List src, List tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 Integer pan = src.remove(src.size() - 1); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.add(pan); }

/ 求解汉诺塔问题 f(i) / void dfs(int i, List src, List buf, List tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i == 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); }

/ 求解汉诺塔问题 / void solveHanota(List A, List B, List C) { int n = A.size(); // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ```

如下图所示，汉诺塔问题形成一棵高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题，对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$ 。

汉诺塔问题的递归树

!!! quote

汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。

然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。