二分查找边界

查找左边界

!!! question

给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。

回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 $i$ 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，这种情况可能导致以下两种结果。

• 插入点的索引 $i$ 越界。
• 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 $-1$ 即可。代码如下所示：

• "Python"

  def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最左一个 target"""
   // 等价于查找 target 的插入点
    i = binary_search_insertion(nums, target)
   // 未找到 target ，返回 -1
    if i == len(nums) or nums[i] != target:
        return -1
   // 找到 target ，返回索引 i
    return i
  

• "C++"

  /* 二分查找最左一个 target */
  int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 等价于查找 target 的插入点
    int i = binarySearchInsertion(nums, target);
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 i
    return i;
  }
  

• "Java"

  /* 二分查找最左一个 target */
  int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
    // 等价于查找 target 的插入点
    int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 i
    return i;
  }
  

查找右边界

那么如何查找最右一个 target 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 nums[m] == target 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的读者可以自行实现。

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

复用查找左边界

实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个 target 转化为查找最左一个 target + 1。

如下图所示，查找完成后，指针 $i$ 指向最左一个 target + 1（如果存在），而 $j$ 指向最右一个 target ，因此返回 $j$ 即可。

请注意，返回的插入点是 $i$ ，因此需要将其减 $1$ ，从而获得 $j$ ：

• "Python"

  def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最右一个 target"""
   // 转化为查找最左一个 target + 1
    i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
   // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    j = i - 1
   // 未找到 target ，返回 -1
    if j == -1 or nums[j] != target:
        return -1
   // 找到 target ，返回索引 j
    return j
  

• "C++"

  /* 二分查找最右一个 target */
  int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
    // 转化为查找最左一个 target + 1
    int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
    // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    int j = i - 1;
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 j
    return j;
  }
  

• "Java"

  /* 二分查找最右一个 target */
  int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
    // 转化为查找最左一个 target + 1
    int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
    // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
    int j = i - 1;
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 j
    return j;
  }
  

转化为查找元素

我们知道，当数组不包含 target 时，最终 $i$ 和 $j$ 会分别指向首个大于、小于 target 的元素。

因此，如下图所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

• 查找最左一个 target ：可以转化为查找 target - 0.5 ，并返回指针 $i$ 。
• 查找最右一个 target ：可以转化为查找 target + 0.5 ，并返回指针 $j$ 。

代码在此省略，以下两点值得注意。

• 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
• 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 target 改为浮点数类型（Python 无须改动）。