堆 · CoderFAN 资料库

堆

「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。

「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。

小顶堆与大顶堆

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆的常用操作

需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

表堆的操作效率

方法名	描述	时间复杂度
`push()`	元素入堆	$O(\log n)$
`pop()`	堆顶元素出堆	$O(\log n)$
`peek()`	访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值）	$O(1)$
`size()`	获取堆的元素数量	$O(1)$
`isEmpty()`	判断堆是否为空	$O(1)$

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

"Python"

```python title="heap.py" // 初始化小顶堆 min_heap, flag = [], 1 // 初始化大顶堆 max_heap, flag = [], -1

// Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆 // 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆 // 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆

// 元素入堆 heapq.heappush(max_heap, flag 1) heapq.heappush(max_heap, flag 3) heapq.heappush(max_heap, flag 2) heapq.heappush(max_heap, flag 5) heapq.heappush(max_heap, flag * 4)

// 获取堆顶元素 peek: int = flag * max_heap[0]// 5

// 堆顶元素出堆 // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 val = flag heapq.heappop(max_heap)// 5 val = flag heapq.heappop(max_heap)// 4 val = flag heapq.heappop(max_heap)// 3 val = flag heapq.heappop(max_heap)// 2 val = flag * heapq.heappop(max_heap)// 1

// 获取堆大小 size: int = len(max_heap)

// 判断堆是否为空 is_empty: bool = not max_heap

// 输入列表并建堆 min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4] heapq.heapify(min_heap) ```
"C++"

```cpp title="heap.cpp" / 初始化堆 / // 初始化小顶堆 priority_queue, greater> minHeap; // 初始化大顶堆 priority_queue, less> maxHeap;

/ 元素入堆 / maxHeap.push(1); maxHeap.push(3); maxHeap.push(2); maxHeap.push(5); maxHeap.push(4);

/ 获取堆顶元素 / int peek = maxHeap.top(); // 5

/ 堆顶元素出堆 / // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 maxHeap.pop(); // 5 maxHeap.pop(); // 4 maxHeap.pop(); // 3 maxHeap.pop(); // 2 maxHeap.pop(); // 1

/ 获取堆大小 / int size = maxHeap.size();

/ 判断堆是否为空 / bool isEmpty = maxHeap.empty();

/ 输入列表并建堆 / vector input{1, 3, 2, 5, 4}; priority_queue, greater> minHeap(input.begin(), input.end()); ```
"Java"

```java title="heap.java" / 初始化堆 / // 初始化小顶堆 Queue minHeap = new PriorityQueue<>(); // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可） Queue maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/ 元素入堆 / maxHeap.offer(1); maxHeap.offer(3); maxHeap.offer(2); maxHeap.offer(5); maxHeap.offer(4);

/ 获取堆顶元素 / int peek = maxHeap.peek(); // 5

/ 堆顶元素出堆 / // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.poll(); // 5 peek = maxHeap.poll(); // 4 peek = maxHeap.poll(); // 3 peek = maxHeap.poll(); // 2 peek = maxHeap.poll(); // 1

/ 获取堆大小 / int size = maxHeap.size();

/ 判断堆是否为空 / boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/ 输入列表并建堆 / minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); ```
"C#"

```csharp title="heap.cs" / 初始化堆 / // 初始化小顶堆 PriorityQueue minHeap = new(); // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可） PriorityQueue maxHeap = new(Comparer.Create((x, y) => y - x));

/ 元素入堆 / maxHeap.Enqueue(1, 1); maxHeap.Enqueue(3, 3); maxHeap.Enqueue(2, 2); maxHeap.Enqueue(5, 5); maxHeap.Enqueue(4, 4);

/ 获取堆顶元素 / int peek = maxHeap.Peek();//5

/ 堆顶元素出堆 / // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.Dequeue(); // 5 peek = maxHeap.Dequeue(); // 4 peek = maxHeap.Dequeue(); // 3 peek = maxHeap.Dequeue(); // 2 peek = maxHeap.Dequeue(); // 1

/ 获取堆大小 / int size = maxHeap.Count;

/ 判断堆是否为空 / bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;

/ 输入列表并建堆 / minHeap = new PriorityQueue([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]); ```

"Go"

```go title="heap.go" // Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆 // 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface type intHeap []any

// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆 func (h *intHeap) Push(x any) {

  // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
  // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
  *h = append(*h, x.(int))

}

// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素 func (h *intHeap) Pop() any {

  // 待出堆元素存放在最后
  last := (*h)[len(*h)-1]
  *h = (*h)[:len(*h)-1]
  return last

}

// Len sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Len() int {

  return len(*h)

}

// Less sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {

  // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
  return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)

}

// Swap sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Swap(i, j int) {

  (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]

}

// Top 获取堆顶元素 func (h *intHeap) Top() any {

  return (*h)[0]

}

/ Driver Code / func TestHeap(t *testing.T) {

  /* 初始化堆 */
  // 初始化大顶堆
  maxHeap := &intHeap{}
  heap.Init(maxHeap)
  /* 元素入堆 */
  // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
  heap.Push(maxHeap, 1)
  heap.Push(maxHeap, 3)
  heap.Push(maxHeap, 2)
  heap.Push(maxHeap, 4)
  heap.Push(maxHeap, 5)

  /* 获取堆顶元素 */
  top := maxHeap.Top()
  fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)

  /* 堆顶元素出堆 */
  // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
  heap.Pop(maxHeap) // 5
  heap.Pop(maxHeap) // 4
  heap.Pop(maxHeap) // 3
  heap.Pop(maxHeap) // 2
  heap.Pop(maxHeap) // 1

  /* 获取堆大小 */
  size := len(*maxHeap)
  fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)

  /* 判断堆是否为空 */
  isEmpty := len(*maxHeap) == 0
  fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)

} ```

"Swift"

swift title="heap.swift" // Swift 未提供内置 Heap 类
"JS"

javascript title="heap.js" // JavaScript 未提供内置 Heap 类
"TS"

typescript title="heap.ts" // TypeScript 未提供内置 Heap 类
"Dart"

dart title="heap.dart" // Dart 未提供内置 Heap 类
"Rust"

```rust title="heap.rs" use std::collections::BinaryHeap; use std::cmp::Reverse;

/ 初始化堆 / // 初始化小顶堆 let mut min_heap = BinaryHeap::>::new(); // 初始化大顶堆 let mut max_heap = BinaryHeap::new();

/ 元素入堆 / max_heap.push(1); max_heap.push(3); max_heap.push(2); max_heap.push(5); max_heap.push(4);

/ 获取堆顶元素 / let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5

/ 堆顶元素出堆 / // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1

/ 获取堆大小 / let size = max_heap.len();

/ 判断堆是否为空 / let is_empty = max_heap.is_empty();

/ 输入列表并建堆 / let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]); ```
"C"

c title="heap.c" // C 未提供内置 Heap 类
"Zig"

```zig title="heap.zig"

```

堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。

堆的存储与表示

“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i + 1$ ，右子节点的索引为 $2i + 2$ ，父节点的索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

堆的表示与存储

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

"Python" ```python def left(self, i: int) -> int: """获取左子节点的索引""" return 2 * i + 1

def right(self, i: int) -> int: """获取右子节点的索引""" return 2 * i + 2

def parent(self, i: int) -> int: """获取父节点的索引""" return (i - 1) // 2 // 向下整除


- "C++"
```cpp
/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

"Java" ```java / 获取左子节点的索引 / int left(int i) { return 2 * i + 1; }

/ 获取右子节点的索引 / int right(int i) { return 2 * i + 2; }

/ 获取父节点的索引 / int parent(int i) { return (i - 1) / 2; // 向下整除 }


### 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

- "Python"
```python
def peek(self) -> int:
    """访问堆顶元素"""
    return self.max_heap[0]

"C++"

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
  return maxHeap[0];
}

"Java"

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
  return maxHeap.get(0);
}

元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 heapify」。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

"<1>"
"<2>"
"<3>"
"<4>"
"<5>"
"<6>"
"<7>"
"<8>"
"<9>"

设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：

"Python" ```python def push(self, val: int): """元素入堆""" // 添加节点 self.max_heap.append(val) // 从底至顶堆化 self.sift_up(self.size() - 1)

def sift_up(self, i: int): """从节点 i 开始，从底至顶堆化""" while True: // 获取节点 i 的父节点 p = self.parent(i) // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化 if p < 0 or self.max_heap[i] <= self.max_heap[p]: break // 交换两节点 self.swap(i, p) // 循环向上堆化 i = p


- "C++"
```cpp
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.push_back(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交换两节点
        swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

"Java" ```java / 元素入堆 / void push(int val) { // 添加节点 maxHeap.add(val); // 从底至顶堆化 siftUp(size() - 1); }

/ 从节点 i 开始，从底至顶堆化 / void siftUp(int i) { while (true) { // 获取节点 i 的父节点 int p = parent(i); // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化 if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p)) break; // 交换两节点 swap(i, p); // 循环向上堆化 i = p; } }


### 堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。

如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

- "<1>"
    ![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png)

- "<2>"
    ![heap_pop_step2](heap.assets/heap_pop_step2.png)

- "<3>"
    ![heap_pop_step3](heap.assets/heap_pop_step3.png)

- "<4>"
    ![heap_pop_step4](heap.assets/heap_pop_step4.png)

- "<5>"
    ![heap_pop_step5](heap.assets/heap_pop_step5.png)

- "<6>"
    ![heap_pop_step6](heap.assets/heap_pop_step6.png)

- "<7>"
    ![heap_pop_step7](heap.assets/heap_pop_step7.png)

- "<8>"
    ![heap_pop_step8](heap.assets/heap_pop_step8.png)

- "<9>"
    ![heap_pop_step9](heap.assets/heap_pop_step9.png)

- "<10>"
    ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png)

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示：

- "Python"
```python
def pop(self) -> int:
    """元素出堆"""
   // 判空处理
    if self.is_empty():
        raise IndexError("堆为空")
   // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    self.swap(0, self.size() - 1)
   // 删除节点
    val = self.max_heap.pop()
   // 从顶至底堆化
    self.sift_down(0)
   // 返回堆顶元素
    return val

def sift_down(self, i: int):
    """从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
    while True:
       // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        l, r, ma = self.left(i), self.right(i), i
        if l < self.size() and self.max_heap[l] > self.max_heap[ma]:
            ma = l
        if r < self.size() and self.max_heap[r] > self.max_heap[ma]:
            ma = r
       // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if ma == i:
            break
       // 交换两节点
        self.swap(i, ma)
       // 循环向下堆化
        i = ma

"C++" ```cpp / 元素出堆 / void pop() { // 判空处理 if (isEmpty()) {
```
  throw out_of_range("堆为空");
```
} // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素） swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]); // 删除节点 maxHeap.pop_back(); // 从顶至底堆化 siftDown(0); }

/ 从节点 i 开始，从顶至底堆化 / void siftDown(int i) { while (true) { // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma int l = left(i), r = right(i), ma = i; if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l; if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r; // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出 if (ma == i) break; swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]); // 循环向下堆化 i = ma; } }


- "Java"
```java
/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

堆的常见应用

优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
获取最大的 $k$ 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。