二叉搜索树

如下图所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件。

  1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
  2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

二叉搜索树

二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。

查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。

  • 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
  • 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。

  • 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

  • "<1>" 二叉搜索树查找节点示例

  • "<2>" bst_search_step2

  • "<3>" bst_search_step3

  • "<4>" bst_search_step4

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：

  • "Python"

    def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
  """查找节点"""
  cur = self._root
 // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while cur is not None:
     // 目标节点在 cur 的右子树中
      if cur.val < num:
          cur = cur.right
     // 目标节点在 cur 的左子树中
      elif cur.val > num:
          cur = cur.left
     // 找到目标节点，跳出循环
      else:
          break
  return cur

  • "C++"

    /* 查找节点 */
TreeNode *search(int num) {
  TreeNode *cur = root;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != nullptr) {
      // 目标节点在 cur 的右子树中
      if (cur->val < num)
          cur = cur->right;
      // 目标节点在 cur 的左子树中
      else if (cur->val > num)
          cur = cur->left;
      // 找到目标节点，跳出循环
      else
          break;
  }
  // 返回目标节点
  return cur;
}

  • "Java"

    /* 查找节点 */
TreeNode search(int num) {
  TreeNode cur = root;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
      // 目标节点在 cur 的右子树中
      if (cur.val < num)
          cur = cur.right;
      // 目标节点在 cur 的左子树中
      else if (cur.val > num)
          cur = cur.left;
      // 找到目标节点，跳出循环
      else
          break;
  }
  // 返回目标节点
  return cur;
}

插入节点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。

  1. 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
  2. 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

在二叉搜索树中插入节点

在代码实现中，需要注意以下两点。

  • 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。

  • 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

  • "Python"

    def insert(self, num: int):
  """插入节点"""
 // 若树为空，则初始化根节点
  if self._root is None:
      self._root = TreeNode(num)
      return
 // 循环查找，越过叶节点后跳出
  cur, pre = self._root, None
  while cur is not None:
     // 找到重复节点，直接返回
      if cur.val == num:
          return
      pre = cur
     // 插入位置在 cur 的右子树中
      if cur.val < num:
          cur = cur.right
     // 插入位置在 cur 的左子树中
      else:
          cur = cur.left
 // 插入节点
  node = TreeNode(num)
  if pre.val < num:
      pre.right = node
  else:
      pre.left = node

  • "C++"

    /* 插入节点 */
void insert(int num) {
  // 若树为空，则初始化根节点
  if (root == nullptr) {
      root = new TreeNode(num);
      return;
  }
  TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != nullptr) {
      // 找到重复节点，直接返回
      if (cur->val == num)
          return;
      pre = cur;
      // 插入位置在 cur 的右子树中
      if (cur->val < num)
          cur = cur->right;
      // 插入位置在 cur 的左子树中
      else
          cur = cur->left;
  }
  // 插入节点
  TreeNode *node = new TreeNode(num);
  if (pre->val < num)
      pre->right = node;
  else
      pre->left = node;
}

  • "Java"

    /* 插入节点 */
void insert(int num) {
  // 若树为空，则初始化根节点
  if (root == null) {
      root = new TreeNode(num);
      return;
  }
  TreeNode cur = root, pre = null;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
      // 找到重复节点，直接返回
      if (cur.val == num)
          return;
      pre = cur;
      // 插入位置在 cur 的右子树中
      if (cur.val < num)
          cur = cur.right;
      // 插入位置在 cur 的左子树中
      else
          cur = cur.left;
  }
  // 插入节点
  TreeNode node = new TreeNode(num);
  if (pre.val < num)
      pre.right = node;
  else
      pre.left = node;
}

与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。

删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）

如下图所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）

当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 $<$ 根节点 $<$ 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。

  1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。

  2. 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

  3. "<1>" 在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ）

  4. "<2>" bst_remove_case3_step2

  5. "<3>" bst_remove_case3_step3

  6. "<4>" bst_remove_case3_step4

删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：

  • "Python"

    def remove(self, num: int):
  """删除节点"""
 // 若树为空，直接提前返回
  if self._root is None:
      return
 // 循环查找，越过叶节点后跳出
  cur, pre = self._root, None
  while cur is not None:
     // 找到待删除节点，跳出循环
      if cur.val == num:
          break
      pre = cur
     // 待删除节点在 cur 的右子树中
      if cur.val < num:
          cur = cur.right
     // 待删除节点在 cur 的左子树中
      else:
          cur = cur.left
 // 若无待删除节点，则直接返回
  if cur is None:
      return

 // 子节点数量 = 0 or 1
  if cur.left is None or cur.right is None:
     // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
      child = cur.left or cur.right
     // 删除节点 cur
      if cur != self._root:
          if pre.left == cur:
              pre.left = child
          else:
              pre.right = child
      else:
         // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
          self._root = child
 // 子节点数量 = 2
  else:
     // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
      tmp: TreeNode = cur.right
      while tmp.left is not None:
          tmp = tmp.left
     // 递归删除节点 tmp
      self.remove(tmp.val)
     // 用 tmp 覆盖 cur
      cur.val = tmp.val

  • "C++"

    /* 删除节点 */
void remove(int num) {
  // 若树为空，直接提前返回
  if (root == nullptr)
      return;
  TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != nullptr) {
      // 找到待删除节点，跳出循环
      if (cur->val == num)
          break;
      pre = cur;
      // 待删除节点在 cur 的右子树中
      if (cur->val < num)
          cur = cur->right;
      // 待删除节点在 cur 的左子树中
      else
          cur = cur->left;
  }
  // 若无待删除节点，则直接返回
  if (cur == nullptr)
      return;
  // 子节点数量 = 0 or 1
  if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
      // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
      TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
      // 删除节点 cur
      if (cur != root) {
          if (pre->left == cur)
              pre->left = child;
          else
              pre->right = child;
      } else {
          // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
          root = child;
      }
      // 释放内存
      delete cur;
  }
  // 子节点数量 = 2
  else {
      // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
      TreeNode *tmp = cur->right;
      while (tmp->left != nullptr) {
          tmp = tmp->left;
      }
      int tmpVal = tmp->val;
      // 递归删除节点 tmp
      remove(tmp->val);
      // 用 tmp 覆盖 cur
      cur->val = tmpVal;
  }
}

  • "Java"

    /* 删除节点 */
void remove(int num) {
  // 若树为空，直接提前返回
  if (root == null)
      return;
  TreeNode cur = root, pre = null;
  // 循环查找，越过叶节点后跳出
  while (cur != null) {
      // 找到待删除节点，跳出循环
      if (cur.val == num)
          break;
      pre = cur;
      // 待删除节点在 cur 的右子树中
      if (cur.val < num)
          cur = cur.right;
      // 待删除节点在 cur 的左子树中
      else
          cur = cur.left;
  }
  // 若无待删除节点，则直接返回
  if (cur == null)
      return;
  // 子节点数量 = 0 or 1
  if (cur.left == null || cur.right == null) {
      // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
      TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
      // 删除节点 cur
      if (cur != root) {
          if (pre.left == cur)
              pre.left = child;
          else
              pre.right = child;
      } else {
          // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
          root = child;
      }
  }
  // 子节点数量 = 2
  else {
      // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
      TreeNode tmp = cur.right;
      while (tmp.left != null) {
          tmp = tmp.left;
      }
      // 递归删除节点 tmp
      remove(tmp.val);
      // 用 tmp 覆盖 cur
      cur.val = tmp.val;
  }
}

中序遍历有序

如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的中序遍历序列

二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

表   数组与搜索树的效率对比

无序数组 二叉搜索树
查找元素 $O(n)$ $O(\log n)$
插入元素 $O(1)$ $O(\log n)$
删除元素 $O(n)$ $O(\log n)$

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。

二叉搜索树退化

二叉搜索树常见应用

  • 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
  • 用于存储数据流，以保持其有序状态。